2.以神之名
“……完全解析阿列夫0后,我们深入了阿列夫数的世界,我们似乎从未碰到任何困难,或者说我们能够解决一切困难,超出我们能力范围的事情“神”会在梦里给予我们启示,一直以为这种一往无前是永恒的(事实上也的确如此),直到我们第一次“亲手触摸”到了那名为“阿列夫不动点”的超穷实体……
“神”于梦中之启示——
——历史上,康托尔那里并没有代表数的集合,所谓的等势这个词,一般理解为集合的大小,但这个大小并没有量化,两个集合的元素之间存在一一对应就说两个集合等势,但最多只能说数量一样而非数量多少,阿列夫数在康托那里就是个含糊不清的概念。康托之后,有个叫弗雷格的人用集合定义数,但它那里1就是所有外延为一个个体的概念的类,2就是外延为两个个体的概念的类,可以粗略理解为1就是所有可以表示为一个xx的概念事物的类。罗素悖论针对的就是它的这种定义,数都全是一堆真类了,而在现代,人们继承了两个集合一一对应表示数量一样的理念,特别是在用集合代表数之后,我们说一个集合有n个元素,就等于在说x可以和n一一对应,说一个集合是无穷集,那么它至少是可以和自然数集一一对应,
但是,如果说集合的数量就是与某个数一一对应,
{0,1,2,……}=w
是可以和
{0,1,2,……,w}=w+1
一一对应的。
只需要定义:
f(n)=n+1,f(w)=0
在集宇宙中,函数也是一个集合,上面定义的这个f就是一个无穷集,
{{w,0},{0,1},{1,2},{2,3},……}
f(n)=n+1
其实就是{n,n+1}的有序对,也直观表现了n和n+1的连线。
这里可以看到,w中的每个元素都可以和w+1中的元素配对。
看懂没?
被启示者:……呃,大概懂了……
——好,你下来写个w和w+2的一一对应。
被启示者:……{{0,w+1},{1,w},{2,0}……}。
——对,一个能和w一一对应的序数也被叫做可数无穷序数,对应的集合则是可数无穷集合。于是,一个集合x即可以和w一一对应,又可以和wxw一一对应,究竟哪个数才是x的数量?
直观上,基数应该具有这种特征:
比它大的数无法和它一一对应。
或者,
比它小的数无法和它一一对应。
在有限序数自然数的情况下,两个定义是等价的,但超限序数的情况下,每个a+1都能对应,所以是不可能的,于是只能选择第二个特征,比它小的序数无法和它一一对应,这样的序数就是基数,比如w,这也是第一个无穷基数,考虑到所有基数小于等于w的序数的集合。
再回忆下序数的定义,仅包含所有小于自身的序数的集合,
为了方便之后的讨论,这个点可以被简约为:
如果a属于a,那么a是a的子集——也就是说,a的元素,小于a的序数都是a的元素,也小于a。
考虑到所有基数小于等于w的序数的集合x,根据序数的定义,该集合仅包含序数,且满足a∈x蕴含a?x,这个集合就也是一个序数。
因为这个序数大于所有可数序数,且仅大于所有可数序数,所以它是下一个无穷基数,
因为比它小的都是可数序数,不可能和它一一对应。
为什么?根据前面的定义,可数序数就是可以和w一一对应的序数,而这个集合的定义就是大于所有可数序数,与w一一对应的序数就小于它,而序数不能自己小于自己。
自我包含的集合有,但这样的关系无法模拟数,
这一点概括下就是
“基数小于等于k的所有序数构成的集合”,简记为h(k),h(k)也就直接指称k之后的下一个无穷基数,可以成为基数的后继运算,像是+1,
比如h(阿列夫n)=阿列夫n+1。
但从w开始用h(k)是无法得到第w个无穷基数——阿列夫w的,这是为什么?、
被启示者:因为阿列夫w是个强极限基数,h(k)就类似于有限数运算,无法得到w,自然也得不到阿列夫w。
——这里没提幂集,不要类比,给我定义推理。
被启示者:阿列夫w的前面不存在阿列夫w-1,自然也就不存在h(阿列夫w-1)=阿列夫w。
——极限基数的定义是,如果a小于k,那么h(a)小于k,于是阿列夫w为什么是极限基数,阿列夫w到底是什么?我们怎么定义阿列夫w?我们想要阿列夫w表示第w个无穷基数,可这是什么序数的集合?我们知道,w是所有自然数的集合,阿列夫n就表示第1+n个无穷基数,这些都是我们通过h(k)可以得到的,w是恰好大于所有自然数的序数,我们想要阿列夫w是恰好大于所有阿列夫n的无穷基数,而不是跳到别的什么东西,那这该是什么序数的集合?
被启示者:阿列夫n的集合?
——阿列夫n的集合不是一个序数,这里要引入一个之后会频繁用到的概念,并集。
{阿列夫n:n∈w}这个集合中只包含阿列夫数,连0123456都不包含,按序数就是都不大于0123456,显然不符合数。并集公理是说,给定一个集合a,都会存在一个集合b,b仅以a中元素的元素为元素,以这里的{阿列夫n:n∈w},其中元素的元素就是阿列夫n的元素,阿列夫1就是比它小的所有序数的集合,阿列夫2同样如此,并且包含阿列夫1。
如果是{阿列夫n:n∈10},取并集就还只是阿列夫10,因为阿列夫123456789中没有超出阿列夫10的元素,
序数的定义就是,a属于a,a就是a的子集,元素都属于a。
所以,阿列夫w作为集合该怎么定义?对x用并集公理是写作ux。
被启示者:阿列夫wu阿列夫n=阿列夫w,n∈w。
——……也行,不过n一般是表示自然数,所以u{阿列夫wxn:n∈w}也是可以的,取并集的话,你跳重点的阿列夫wxn就够了,更多其它元素都不会有什么增长,
不过的确,极限基数的一般定义是:
如果a是极限序数,则阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
后继基数的情况则是,阿列夫a+1=h(阿列夫a)。
这里可以看得出即使是对于w这个集宇宙中最小的无限,也依旧是严格按照不存在边界限制来对待的,所有涉及超限序数的定义都需要提供极限阶段和后继阶段两套定义,而现在,你脑中能乍一下想到的相当大的基数是什么?
被启示者:阿列夫阿列夫……阿列夫0。
——你这个写法不存在,无限没有尽头,所以你这是一个叠了有些次的阿列夫数?不过确实也就是这样大,
而到现在为止,我们遭遇的阿列夫a都有一个共同特点,那就是阿列夫a大于a,
比如阿列夫0大于0,阿列夫1大于1,阿列夫阿列夫1大于阿列夫1,差距是越来越大。
那么在一个由所有序数构成的序列中,这个序列是否能足够长,以至于其中会出现这样的序数a,使得a就是第a个阿列夫数?
来,写出符合这个条件的集合。
提示:得到阿列夫w的过程,和极限基数的定义。
被启示者:w_a=a,h(a)≤a。
——h(a)≤a这是矛盾式,这里的大都是在谈序数大,而基数也不可能,h(a)就是跳到下一个基数。
阿列夫w的时候,我们得到的是阿列夫1,阿列夫2,阿列夫3,……
而现在,我们能得到:
{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}。
我且问你,假设阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……},那么这个阿列夫a的a有多大?
被启示者:a={0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}。
——为什么?如果某个阿列夫b大于阿列夫w,那么它就至少是第w个无穷基数之和的基数,比如阿列夫w+n之类的。被启示者:阿列夫a={阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……},等号左右两边各去掉一个阿列夫……
——我说你有看懂吗?
被启示者:大概懂……
——如果某个阿列夫b大于阿列夫w,那么它就至少是第w个无穷基数之和的基数,比如阿列夫w+n之类的,
如果某个阿列夫b大于阿列夫阿列夫w,那么它至少会是第阿列夫w个基数之后的基数。
提示,阿列夫a从来都是表达它是第a个无穷基数,
假设:阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……},那么这个阿列夫a的a有多大?
被启示者:a>阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……,因为a=sup{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}。
——所以说这是怎么从
阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
这个前提中得到的?
被启示者:取极限啊!
——参考极限基数的定义:阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}。
如果:
阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
那么根据极限基数的定义:
阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
可知0∈a,阿列夫0∈a,阿列夫阿列夫0∈a,……
就这么简单直接!
阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
而a=u{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}
不难看出,把{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}中的0去掉,这个集合就是上面那个集合。
因此,阿列夫a=a。
而这里,阿列夫a已经不利于表达了,我们都需要特别定义“”
a0=阿列夫0,an+1=阿列夫an。
这样,才方便表达。
阿列夫a=u{an:n∈w}。
来,你写下下一个阿列夫a=a的集合该怎么定义?
上面那个阿列夫a,因为阿列夫a=a,阿列夫阿列夫阿列夫a这种在逻辑上不过反复同义说a=a。
被启示者:啊这……a0=阿列夫0,an+1=阿列夫an?确定没有多打一个a?
——h(阿列夫a)=阿列夫a+1,它是所有基数小于等于阿列夫a的序数的集合,
a0=阿列夫0
a1=阿列夫a0=阿列夫阿列夫0
a2=阿列夫a1=阿列夫阿列夫阿列夫0
所以才能写成阿列夫a=u{an:n∈w},对于满足阿列夫a=a的序数,俗称阿列夫不动点,字面意思就是a在阿列夫这个函数下不变,阿列夫a还是a。
而阿列夫不动点的关键在于:
从极限基数的定义阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
中可以看到,阿列夫a是阿列夫数的并,而a不过是小于a的b的并,这个差距要令两者相同,
只要对于小于a的b,阿列夫b也小于a,也就是构成a的集合中的元素都附加阿列夫也没关系的话,
比如u{0,1,2,3,……}=a=u{阿列夫0,阿列夫1,阿列夫2,阿列夫3,……}。
那么这个差距也就消失了,
本质上,阿列夫a比起a的优势就是阿列夫a是第a个基数,所以其并集是对每个小于a的序数b附加阿列夫来取并。
所以只要a下面有a多个阿列夫数,那么就没有差距了,在a之下,阿列夫数,无穷基数的数量平凡烂大街到跟普通序数一样多,可见a之大。
所以你看懂了吗?
被启示者:大概懂了……
——来,写下第二个阿列夫不动点的构造,记第一个阿列夫不动点为a。
被启示者:a0=阿列夫0,an+1=阿列夫an,阿列夫第一个不动点=aw,第二个不动点=a阿列夫1。
——???
被启示者:难道不是吗?如果说a后面接可数序数,势是不变的,阿列夫的个数也就不变,换句话来说接可数序数后还是阿列夫第一个不动点,只能接阿列夫1。
——记第一个阿列夫不动点为k
定义
a0=阿列夫k+1,an+1=阿列夫an
试问阿列夫a=u{an:n∈w}有多大?
阿列夫0的基数是阿列夫0,阿列夫阿列夫0的基数是阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0的基数是阿列夫阿列夫阿列夫0。
an到an+1的变动都不知道拔高多少层基数了,至于你要套aw+1=阿列夫aw,我前面说了,上面那个阿列夫a,因为阿列夫a=a,阿列夫阿列夫阿列夫a这种在逻辑上不过反复同义说a=a,你说绝对无限次同一律那也还是同一律。
来,证明下
记第一个阿列夫不动点为k
定义
a0=阿列夫k+1,an+1=阿列夫an
阿列夫a=u{an:n∈w}是不是第二个阿列夫不动点?
被启示者:应该是吧……a0=阿列夫k+1,an+1=阿列夫an,阿列夫a=u{an:n∈w},阿列夫a=阿列夫阿列夫……阿列夫阿列夫第一个不动点。
——说了没有阿列夫阿列夫……无限下去这种写法,就如w不是1+1+1+1+1+1+++……无限下去,+1和w存在断层,与阿列夫不动点同样,a0=阿列夫k+1,an+1=阿列夫an,
阿列夫a=u{an:n∈w}都不用看an的定义本身就表明了a和阿列夫a那加了个阿列夫之间没有差距。
为什么?因为别说是加阿列夫,就算是加阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫……葛立恒数次,不过是把{k+1,阿列夫k+1,阿列夫阿列夫k+1,……}这个集合中前葛立恒数个元素去掉而已。你以为的变大本质是一种缩小而已,这也是无限集的另一种特征。
{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}
{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
{阿列夫1,阿列夫阿列夫1,阿列夫阿列夫阿列夫1,……}
{阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫0,,……}
这些看起来越来越大的序列本质都是第一个最小序列的缩水。
设a是极限序数
阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
a=u{b:b∈a}
这两个的区别是什么?,a是同一个a。
被启示者:后是有限数,在阿列夫第一个不动点之前,后都比前少了一层阿列夫。
——……阿列夫xn:n∈w}这是有限数?区别是阿列夫a的情况其中的都是阿列夫数,对每个序数都叠了层阿列夫。
但在{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
这个例子中,身为这些阿列夫数的指标的序数却分别是
{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}
而构成阿列夫a的那个集合本质上还是展现出来的a的子集。{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}内容是一样的。
于是,关于不动点的后继运算是:
定义a0(x)=阿列夫x,an+1(x)=阿列夫an(x),
an(x)就是表明x前面叠了几层阿列夫,
b(a+1)=u{an(b(a)):n∈w}。
而在极限序数的情况,比如b(w)=u{b(n):n∈w}。
这里提问,为什么前n个不动点的集合取极限,也会是一个不动点?
被启示者:不动点的领域里只有不动点!
——没错,因为{b(n):n∈w}这个集合里全员都是不动点,前面叠个阿列夫无事发生。到目前为止,都还是些简单概念的推导和套用叠堆。接下来就是讲下数学中入门的“叠堆方式”。[1]
……
……何为“绝对无限”?绝对的无限、超穷的实体、至高无上的冠冕、超越所有的一切、不可自下而上达到、不可被超越的神话?
如果仅是这样,那还不如阿列夫0,阿列夫0承包了一切“+1”的概念及其外延,也是满足绝对无限的一切性质的。没有配套公理定义的绝对无限屁都不是,连阿列夫1都不如!
而如果单纯的认为‘绝对无限’是所有序数的势,那么也不超过不可达基数…………”
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“神”于梦中之启示——
——历史上,康托尔那里并没有代表数的集合,所谓的等势这个词,一般理解为集合的大小,但这个大小并没有量化,两个集合的元素之间存在一一对应就说两个集合等势,但最多只能说数量一样而非数量多少,阿列夫数在康托那里就是个含糊不清的概念。康托之后,有个叫弗雷格的人用集合定义数,但它那里1就是所有外延为一个个体的概念的类,2就是外延为两个个体的概念的类,可以粗略理解为1就是所有可以表示为一个xx的概念事物的类。罗素悖论针对的就是它的这种定义,数都全是一堆真类了,而在现代,人们继承了两个集合一一对应表示数量一样的理念,特别是在用集合代表数之后,我们说一个集合有n个元素,就等于在说x可以和n一一对应,说一个集合是无穷集,那么它至少是可以和自然数集一一对应,
但是,如果说集合的数量就是与某个数一一对应,
{0,1,2,……}=w
是可以和
{0,1,2,……,w}=w+1
一一对应的。
只需要定义:
f(n)=n+1,f(w)=0
在集宇宙中,函数也是一个集合,上面定义的这个f就是一个无穷集,
{{w,0},{0,1},{1,2},{2,3},……}
f(n)=n+1
其实就是{n,n+1}的有序对,也直观表现了n和n+1的连线。
这里可以看到,w中的每个元素都可以和w+1中的元素配对。
看懂没?
被启示者:……呃,大概懂了……
——好,你下来写个w和w+2的一一对应。
被启示者:……{{0,w+1},{1,w},{2,0}……}。
——对,一个能和w一一对应的序数也被叫做可数无穷序数,对应的集合则是可数无穷集合。于是,一个集合x即可以和w一一对应,又可以和wxw一一对应,究竟哪个数才是x的数量?
直观上,基数应该具有这种特征:
比它大的数无法和它一一对应。
或者,
比它小的数无法和它一一对应。
在有限序数自然数的情况下,两个定义是等价的,但超限序数的情况下,每个a+1都能对应,所以是不可能的,于是只能选择第二个特征,比它小的序数无法和它一一对应,这样的序数就是基数,比如w,这也是第一个无穷基数,考虑到所有基数小于等于w的序数的集合。
再回忆下序数的定义,仅包含所有小于自身的序数的集合,
为了方便之后的讨论,这个点可以被简约为:
如果a属于a,那么a是a的子集——也就是说,a的元素,小于a的序数都是a的元素,也小于a。
考虑到所有基数小于等于w的序数的集合x,根据序数的定义,该集合仅包含序数,且满足a∈x蕴含a?x,这个集合就也是一个序数。
因为这个序数大于所有可数序数,且仅大于所有可数序数,所以它是下一个无穷基数,
因为比它小的都是可数序数,不可能和它一一对应。
为什么?根据前面的定义,可数序数就是可以和w一一对应的序数,而这个集合的定义就是大于所有可数序数,与w一一对应的序数就小于它,而序数不能自己小于自己。
自我包含的集合有,但这样的关系无法模拟数,
这一点概括下就是
“基数小于等于k的所有序数构成的集合”,简记为h(k),h(k)也就直接指称k之后的下一个无穷基数,可以成为基数的后继运算,像是+1,
比如h(阿列夫n)=阿列夫n+1。
但从w开始用h(k)是无法得到第w个无穷基数——阿列夫w的,这是为什么?、
被启示者:因为阿列夫w是个强极限基数,h(k)就类似于有限数运算,无法得到w,自然也得不到阿列夫w。
——这里没提幂集,不要类比,给我定义推理。
被启示者:阿列夫w的前面不存在阿列夫w-1,自然也就不存在h(阿列夫w-1)=阿列夫w。
——极限基数的定义是,如果a小于k,那么h(a)小于k,于是阿列夫w为什么是极限基数,阿列夫w到底是什么?我们怎么定义阿列夫w?我们想要阿列夫w表示第w个无穷基数,可这是什么序数的集合?我们知道,w是所有自然数的集合,阿列夫n就表示第1+n个无穷基数,这些都是我们通过h(k)可以得到的,w是恰好大于所有自然数的序数,我们想要阿列夫w是恰好大于所有阿列夫n的无穷基数,而不是跳到别的什么东西,那这该是什么序数的集合?
被启示者:阿列夫n的集合?
——阿列夫n的集合不是一个序数,这里要引入一个之后会频繁用到的概念,并集。
{阿列夫n:n∈w}这个集合中只包含阿列夫数,连0123456都不包含,按序数就是都不大于0123456,显然不符合数。并集公理是说,给定一个集合a,都会存在一个集合b,b仅以a中元素的元素为元素,以这里的{阿列夫n:n∈w},其中元素的元素就是阿列夫n的元素,阿列夫1就是比它小的所有序数的集合,阿列夫2同样如此,并且包含阿列夫1。
如果是{阿列夫n:n∈10},取并集就还只是阿列夫10,因为阿列夫123456789中没有超出阿列夫10的元素,
序数的定义就是,a属于a,a就是a的子集,元素都属于a。
所以,阿列夫w作为集合该怎么定义?对x用并集公理是写作ux。
被启示者:阿列夫wu阿列夫n=阿列夫w,n∈w。
——……也行,不过n一般是表示自然数,所以u{阿列夫wxn:n∈w}也是可以的,取并集的话,你跳重点的阿列夫wxn就够了,更多其它元素都不会有什么增长,
不过的确,极限基数的一般定义是:
如果a是极限序数,则阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
后继基数的情况则是,阿列夫a+1=h(阿列夫a)。
这里可以看得出即使是对于w这个集宇宙中最小的无限,也依旧是严格按照不存在边界限制来对待的,所有涉及超限序数的定义都需要提供极限阶段和后继阶段两套定义,而现在,你脑中能乍一下想到的相当大的基数是什么?
被启示者:阿列夫阿列夫……阿列夫0。
——你这个写法不存在,无限没有尽头,所以你这是一个叠了有些次的阿列夫数?不过确实也就是这样大,
而到现在为止,我们遭遇的阿列夫a都有一个共同特点,那就是阿列夫a大于a,
比如阿列夫0大于0,阿列夫1大于1,阿列夫阿列夫1大于阿列夫1,差距是越来越大。
那么在一个由所有序数构成的序列中,这个序列是否能足够长,以至于其中会出现这样的序数a,使得a就是第a个阿列夫数?
来,写出符合这个条件的集合。
提示:得到阿列夫w的过程,和极限基数的定义。
被启示者:w_a=a,h(a)≤a。
——h(a)≤a这是矛盾式,这里的大都是在谈序数大,而基数也不可能,h(a)就是跳到下一个基数。
阿列夫w的时候,我们得到的是阿列夫1,阿列夫2,阿列夫3,……
而现在,我们能得到:
{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}。
我且问你,假设阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……},那么这个阿列夫a的a有多大?
被启示者:a={0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}。
——为什么?如果某个阿列夫b大于阿列夫w,那么它就至少是第w个无穷基数之和的基数,比如阿列夫w+n之类的。被启示者:阿列夫a={阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……},等号左右两边各去掉一个阿列夫……
——我说你有看懂吗?
被启示者:大概懂……
——如果某个阿列夫b大于阿列夫w,那么它就至少是第w个无穷基数之和的基数,比如阿列夫w+n之类的,
如果某个阿列夫b大于阿列夫阿列夫w,那么它至少会是第阿列夫w个基数之后的基数。
提示,阿列夫a从来都是表达它是第a个无穷基数,
假设:阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……},那么这个阿列夫a的a有多大?
被启示者:a>阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……,因为a=sup{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}。
——所以说这是怎么从
阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
这个前提中得到的?
被启示者:取极限啊!
——参考极限基数的定义:阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}。
如果:
阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
那么根据极限基数的定义:
阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
可知0∈a,阿列夫0∈a,阿列夫阿列夫0∈a,……
就这么简单直接!
阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
而a=u{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}
不难看出,把{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}中的0去掉,这个集合就是上面那个集合。
因此,阿列夫a=a。
而这里,阿列夫a已经不利于表达了,我们都需要特别定义“”
a0=阿列夫0,an+1=阿列夫an。
这样,才方便表达。
阿列夫a=u{an:n∈w}。
来,你写下下一个阿列夫a=a的集合该怎么定义?
上面那个阿列夫a,因为阿列夫a=a,阿列夫阿列夫阿列夫a这种在逻辑上不过反复同义说a=a。
被启示者:啊这……a0=阿列夫0,an+1=阿列夫an?确定没有多打一个a?
——h(阿列夫a)=阿列夫a+1,它是所有基数小于等于阿列夫a的序数的集合,
a0=阿列夫0
a1=阿列夫a0=阿列夫阿列夫0
a2=阿列夫a1=阿列夫阿列夫阿列夫0
所以才能写成阿列夫a=u{an:n∈w},对于满足阿列夫a=a的序数,俗称阿列夫不动点,字面意思就是a在阿列夫这个函数下不变,阿列夫a还是a。
而阿列夫不动点的关键在于:
从极限基数的定义阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
中可以看到,阿列夫a是阿列夫数的并,而a不过是小于a的b的并,这个差距要令两者相同,
只要对于小于a的b,阿列夫b也小于a,也就是构成a的集合中的元素都附加阿列夫也没关系的话,
比如u{0,1,2,3,……}=a=u{阿列夫0,阿列夫1,阿列夫2,阿列夫3,……}。
那么这个差距也就消失了,
本质上,阿列夫a比起a的优势就是阿列夫a是第a个基数,所以其并集是对每个小于a的序数b附加阿列夫来取并。
所以只要a下面有a多个阿列夫数,那么就没有差距了,在a之下,阿列夫数,无穷基数的数量平凡烂大街到跟普通序数一样多,可见a之大。
所以你看懂了吗?
被启示者:大概懂了……
——来,写下第二个阿列夫不动点的构造,记第一个阿列夫不动点为a。
被启示者:a0=阿列夫0,an+1=阿列夫an,阿列夫第一个不动点=aw,第二个不动点=a阿列夫1。
——???
被启示者:难道不是吗?如果说a后面接可数序数,势是不变的,阿列夫的个数也就不变,换句话来说接可数序数后还是阿列夫第一个不动点,只能接阿列夫1。
——记第一个阿列夫不动点为k
定义
a0=阿列夫k+1,an+1=阿列夫an
试问阿列夫a=u{an:n∈w}有多大?
阿列夫0的基数是阿列夫0,阿列夫阿列夫0的基数是阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0的基数是阿列夫阿列夫阿列夫0。
an到an+1的变动都不知道拔高多少层基数了,至于你要套aw+1=阿列夫aw,我前面说了,上面那个阿列夫a,因为阿列夫a=a,阿列夫阿列夫阿列夫a这种在逻辑上不过反复同义说a=a,你说绝对无限次同一律那也还是同一律。
来,证明下
记第一个阿列夫不动点为k
定义
a0=阿列夫k+1,an+1=阿列夫an
阿列夫a=u{an:n∈w}是不是第二个阿列夫不动点?
被启示者:应该是吧……a0=阿列夫k+1,an+1=阿列夫an,阿列夫a=u{an:n∈w},阿列夫a=阿列夫阿列夫……阿列夫阿列夫第一个不动点。
——说了没有阿列夫阿列夫……无限下去这种写法,就如w不是1+1+1+1+1+1+++……无限下去,+1和w存在断层,与阿列夫不动点同样,a0=阿列夫k+1,an+1=阿列夫an,
阿列夫a=u{an:n∈w}都不用看an的定义本身就表明了a和阿列夫a那加了个阿列夫之间没有差距。
为什么?因为别说是加阿列夫,就算是加阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫……葛立恒数次,不过是把{k+1,阿列夫k+1,阿列夫阿列夫k+1,……}这个集合中前葛立恒数个元素去掉而已。你以为的变大本质是一种缩小而已,这也是无限集的另一种特征。
{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}
{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
{阿列夫1,阿列夫阿列夫1,阿列夫阿列夫阿列夫1,……}
{阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫0,,……}
这些看起来越来越大的序列本质都是第一个最小序列的缩水。
设a是极限序数
阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
a=u{b:b∈a}
这两个的区别是什么?,a是同一个a。
被启示者:后是有限数,在阿列夫第一个不动点之前,后都比前少了一层阿列夫。
——……阿列夫xn:n∈w}这是有限数?区别是阿列夫a的情况其中的都是阿列夫数,对每个序数都叠了层阿列夫。
但在{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}
这个例子中,身为这些阿列夫数的指标的序数却分别是
{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}
而构成阿列夫a的那个集合本质上还是展现出来的a的子集。{0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}内容是一样的。
于是,关于不动点的后继运算是:
定义a0(x)=阿列夫x,an+1(x)=阿列夫an(x),
an(x)就是表明x前面叠了几层阿列夫,
b(a+1)=u{an(b(a)):n∈w}。
而在极限序数的情况,比如b(w)=u{b(n):n∈w}。
这里提问,为什么前n个不动点的集合取极限,也会是一个不动点?
被启示者:不动点的领域里只有不动点!
——没错,因为{b(n):n∈w}这个集合里全员都是不动点,前面叠个阿列夫无事发生。到目前为止,都还是些简单概念的推导和套用叠堆。接下来就是讲下数学中入门的“叠堆方式”。[1]
……
……何为“绝对无限”?绝对的无限、超穷的实体、至高无上的冠冕、超越所有的一切、不可自下而上达到、不可被超越的神话?
如果仅是这样,那还不如阿列夫0,阿列夫0承包了一切“+1”的概念及其外延,也是满足绝对无限的一切性质的。没有配套公理定义的绝对无限屁都不是,连阿列夫1都不如!
而如果单纯的认为‘绝对无限’是所有序数的势,那么也不超过不可达基数…………”
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